Plik liczby transcendentne to takie, których nie można uzyskać w wyniku równania wielomianowego. Przeciwieństwem liczby transcendentnej jest a liczba algebraiczna, które są rozwiązaniami równania wielomianowego typu:
don xn + don-1 xn-1 +… + Adwa xdwa + do1 x + a0 = 0
Gdzie współczynniki an, don-1,… dodwa, do1, do0 są liczbami wymiernymi, zwanymi współczynniki wielomianu. Jeśli liczba x jest rozwiązaniem poprzedniego równania, to liczba ta nie jest transcendentna.
Przeanalizujemy kilka liczb i zobaczymy, czy są one transcendentne, czy nie:
a) 3 nie jest transcendentne, ponieważ jest rozwiązaniem x - 3 = 0.
b) -2 nie może być transcendentne, ponieważ jest rozwiązaniem x + 2 = 0.
c) ⅓ jest rozwiązaniem 3x - 1 = 0
d) Rozwiązanie równania xdwa - 2x + 1 = 0 to √2 -1, więc liczba z definicji nie jest transcendentna.
e) Ani √2, ponieważ jest wynikiem równania xdwa - 2 = 0. Podnoszenie do kwadratu √2 daje wynik 2, który po odjęciu od 2 równa się zero. Zatem √2 jest liczbą niewymierną, ale nie jest transcendentna.
Indeks artykułów
Problem w tym, że nie ma ogólnej zasady ich uzyskania (później powiemy sposób), ale jednymi z najbardziej znanych są liczby Liczba Pi i Liczba Nepera, oznaczone odpowiednio: π Y i.
Numer π Okazuje się naturalnie, obserwując, że iloraz matematyczny między obwodem P koła a jego średnicą D, niezależnie od tego, czy jest to mały, czy duży okrąg, daje zawsze tę samą liczbę, zwaną Liczba Pi:
π = P / D ≈ 3,14159…
Oznacza to, że jeśli za jednostkę miary przyjmuje się średnicę obwodu, dla wszystkich, dużych lub małych, obwód zawsze będzie wynosił P = 3,14… = π, jak widać na animacji na rysunku 2.
Aby określić więcej miejsc po przecinku, należy zmierzyć P i D z większą dokładnością, a następnie obliczyć iloraz, co zostało zrobione matematycznie. Najważniejsze jest to, że ułamki dziesiętne ilorazu nie mają końca i nigdy się nie powtarzają, więc liczba π poza tym, że jest transcendentny, jest również irracjonalny.
Liczba niewymierna to liczba, której nie można wyrazić jako podzielenie dwóch liczb całkowitych.
Wiadomo, że każda liczba transcendentna jest irracjonalna, ale nie jest prawdą, że wszystkie liczby niewymierne są transcendentne. Na przykład √2 jest irracjonalne, ale nie jest transcendentne.
Liczba transcendentna e jest podstawą logarytmów naturalnych, a jej dziesiętne przybliżenie to:
e ≈ 2,718281828459045235360… .
Jeśli chcesz wpisać numer i dokładnie, konieczne byłoby zapisanie nieskończonych liczb dziesiętnych, ponieważ każda transcendentna liczba jest irracjonalna, jak powiedziano wcześniej.
Pierwsze dziesięć cyfr i są łatwe do zapamiętania:
2,7 1828 1828 i chociaż wydaje się być zgodny z powtarzalnym wzorem, nie osiąga się tego w ułamkach dziesiętnych rzędu większych niż dziewięć.
Bardziej formalna definicja i jest następny:
Co oznacza, że dokładna wartość i Osiąga się poprzez wykonanie operacji wskazanej w tym wzorze, gdy liczba naturalna n dąży do nieskończoności.
To wyjaśnia, dlaczego możemy uzyskać tylko przybliżenia i, ponieważ bez względu na to, jak duża jest liczba n, zawsze będzie można znaleźć n wyższy.
Poszukajmy własnych przybliżeń:
-Gdy n = 100, to (1 + 1/100)100 = 2,70481, co prawie nie pokrywa się w pierwszym miejscu po przecinku z „prawdziwą” wartością e.
-Jeśli wybierzesz n = 10 000, masz (1 + 1/10 000)10 000 = 2,71815, co odpowiada „dokładnej” wartości e w pierwszych trzech miejscach po przecinku.
Ten proces musiałby być kontynuowany w nieskończoność, aby otrzymać „prawdziwą” wartość e. Myślę, że nie mamy na to czasu, ale spróbujmy jeszcze jednego:
Użyjmy n = 100 000:
(1 + 1/100 000)100 000 = 2,7182682372
To ma tylko cztery miejsca po przecinku odpowiadające wartości uważanej za dokładną.
Ważne jest, aby zrozumieć, że im wyższa wartość n wybrana do obliczenia en, im bliżej jest do prawdziwej wartości. Ale ta prawdziwa wartość będzie miała tylko wtedy, gdy n jest nieskończone.
Inne ważne liczby
Oprócz tych słynnych liczb istnieją inne liczby transcendentne, na przykład:
- dwa√2
Każda liczba algebraiczna inna niż 0 lub 1 podniesiona do wykładnika niewymiernego będzie liczbą transcendentną.
-Liczba Champernowne o podstawie 10:
C_10 = 0,123456789101112131415161718192021… .
-Liczba Champernowne w podstawie 2:
C_2 = 0,1101110010110111… .
-Liczba gamma γ lub stała Eulera-Mascheroniego:
γ ≈ 0,577 215 664 901532860 606
Który uzyskuje się wykonując następujące obliczenia:
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)
Gdy n być bardzo duże. Aby uzyskać dokładną wartość liczby Gamma, musisz wykonać obliczenia za pomocą n nieskończony. Coś podobnego do tego, co zrobiliśmy powyżej.
Jest o wiele więcej liczb transcendentnych. Wielki matematyk Georg Cantor, urodzony w Rosji i żyjący w latach 1845-1918, wykazał, że zbiór liczb transcendentnych jest znacznie większy niż zbiór liczb algebraicznych.
P = π D = 2 π R, gdzie P to obwód, D średnica, a R promień obwodu. Należy pamiętać, że:
-Średnica obwodu to najdłuższy odcinek, który łączy dwa takie same punkty i zawsze przechodzi przez jego środek,
-Promień jest równy połowie średnicy i jest odcinkiem biegnącym od środka do krawędzi.
A = π Rdwa = ¼ π Ddwa
S = 4 π Rdwa.
Tak, chociaż może się tak nie wydawać, powierzchnia kuli jest taka sama, jak cztery okręgi o tym samym promieniu co kula..
V = 4/3 π R3
Pizzeria „EXÓTICA” sprzedaje pizze w trzech średnicach: małą 30 cm, średnią 37 cm i dużą 45 cm. Dziecko jest bardzo głodne i zdało sobie sprawę, że dwie małe pizze kosztują tyle samo, co jedna duża. Co będzie dla niego lepsze, kup dwie małe pizze lub jedną dużą?
Im większa powierzchnia, tym większa ilość pizzy, dlatego powierzchnia dużej pizzy zostanie obliczona i porównana z powierzchnią dwóch małych pizzy:
Duży obszar pizzy = ¼ π Ddwa = ¼ ⋅3,1416⋅45dwa = 1590,44 cmdwa
Mały obszar do pizzy = ¼ π ddwa = ¼ ⋅3,1416⋅30dwa = 706,86 cmdwa
Dlatego dwie małe pizze będą miały powierzchnię
2 x 706,86 = 1413,72 cmdwa .
To jasne: kupując jedną dużą, będziesz mieć więcej pizzy niż dwie małe.
Pizzeria „EXÓTICA” sprzedaje również pizzę półkulistą o promieniu 30 cm za tę samą cenę, co pizzę prostokątną o boku 30 x 40 cm. Które byś wybrał?
Jak wspomniano w poprzedniej sekcji, pole powierzchni kuli jest czterokrotnie większe niż koła o tej samej średnicy, więc półkula o średnicy 30 cm będzie miała:
Pizza półkulista 12 '': 1413,72 cmdwa (dwa razy okrąg o tej samej średnicy)
Pizza prostokątna: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cmdwa .
Półkulista pizza ma większą powierzchnię.
Jeszcze bez komentarzy