Plik warunkowe prawdopodobieństwo Jest to możliwość wystąpienia pewnego zdarzenia, biorąc pod uwagę, że inne zdarzenie występuje jako warunek. Te dodatkowe informacje mogą (ale nie muszą) modyfikować postrzegania, że coś się wydarzy.
Na przykład, możemy zadać sobie pytanie: „Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie padać dzisiaj, biorąc pod uwagę, że nie padał deszcz od dwóch dni?” Zdarzeniem, dla którego chcemy poznać prawdopodobieństwo, jest to, że dziś pada, a dodatkową informacją, która warunkowałaby odpowiedź, jest to, że „nie padało od dwóch dni”.
Bądź przestrzeń probabilistyczna składa się z Ω (przestrzeń próbkowa), ℬ (zdarzenia losowe) i P (prawdopodobieństwo każdego zdarzenia) oraz zdarzenia A i B należące do ℬ.
Warunkowe prawdopodobieństwo wystąpienia A, biorąc pod uwagę, że wystąpiło B, które jest oznaczone jako P (A│B), jest zdefiniowane w następujący sposób:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B)
Gdzie: P (A) jest prawdopodobieństwem wystąpienia A, P (B) jest prawdopodobieństwem zdarzenia B i jest różne od 0, a P (A∩B) jest prawdopodobieństwem przecięcia się A i B, czyli , prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń (prawdopodobieństwo łączne).
Jest to wyrażenie na twierdzenie Bayesa zastosowane do dwóch wydarzeń, zaproponowane w 1763 roku przez angielskiego teologa i matematyka Thomasa Bayesa.
Indeks artykułów
-Każde prawdopodobieństwo warunkowe zawiera się w przedziale od 0 do 1:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, biorąc pod uwagę to zdarzenie, wynosi oczywiście 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-Jeśli dwa zdarzenia są wykluczające się, to znaczy zdarzenia, które nie mogą wystąpić jednocześnie, to warunkowe prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z nich wynosi 0, ponieważ przecięcie jest zerowe:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-Jeśli B jest podzbiorem A, to prawdopodobieństwo warunkowe również wynosi 1:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Ważny
P (A│B) generalnie nie jest równe P (B│A), dlatego musimy uważać, aby nie zamienić zdarzeń podczas znajdowania prawdopodobieństwa warunkowego.
Często chcesz znaleźć wspólne prawdopodobieństwo P (A∩B), a nie prawdopodobieństwo warunkowe. Następnie, poprzez następujące twierdzenie, mamy:
P (A∩B) = P (A i B) = P (A│B). P (B)
Twierdzenie można rozszerzyć na trzy zdarzenia A, B i C:
P (A∩B∩C) = P (A i B i C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
A także na różne wydarzenia, takie jak A1, DOdwa, DO3 i więcej, można to wyrazić następująco:
P (A.1∩ Adwa ∩ A.3… ∩ An) = P (A.1). P (A.dwa│A1). P (A.3│A1∩ Adwa) ... P (A.n││A1∩ A.dwa∩… An-1)
W przypadku zdarzeń, które zachodzą w kolejności i przechodzą przez różne etapy, wygodnie jest uporządkować dane w postaci diagramu lub tabeli. Ułatwia to wizualizację opcji umożliwiających osiągnięcie żądanego prawdopodobieństwa..
Przykładami tego są schemat drzewa i tabela awaryjna. Z jednego możesz zbudować drugi.
Spójrzmy na kilka sytuacji, w których prawdopodobieństwo jednego zdarzenia zmienia się przez wystąpienie innego:
W sklepie ze słodyczami sprzedawane są dwa rodzaje ciast: truskawkowe i czekoladowe. Rejestrując preferencje 50 klientów obojga płci, określono następujące wartości:
-27 kobiet, z których 11 preferuje ciasto truskawkowe, a 16 czekoladowe.
-23 mężczyzn: 15 wybiera czekoladę i 8 truskawek.
Prawdopodobieństwo wyboru przez klienta ciasta czekoladowego można określić stosując regułę Laplace'a, zgodnie z którą prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wynosi:
P = liczba korzystnych wydarzeń / całkowita liczba wydarzeń
W tym przypadku na 50 klientów 31 preferuje czekoladę, więc prawdopodobieństwo wyniesie P = 31/50 = 0,62. Oznacza to, że 62% klientów woli ciasto czekoladowe.
Ale czy byłoby inaczej, gdyby klientem była kobieta? Jest to przypadek prawdopodobieństwa warunkowego.
Korzystając z takiej tabeli kontyngentów, można łatwo wyświetlić sumy:
Następnie obserwuje się korzystne przypadki i stosuje się regułę Laplace'a, ale najpierw definiujemy zdarzenia:
-B to wydarzenie „klient płci żeńskiej”.
-A to wydarzenie „wolę ciasto czekoladowe” będąc kobietą.
Przechodzimy do kolumny „kobiety” i widzimy, że w sumie jest 27.
Następnie poszukiwany jest korzystny przypadek w rzędzie dotyczącym „czekolady”. Istnieje 16 takich zdarzeń, dlatego poszukiwane prawdopodobieństwo jest bezpośrednio następujące:
P (A│B) = 16/27 = 0,5924
59,24% klientek woli ciasto czekoladowe.
Wartość ta pokrywa się, gdy porównamy ją z pierwotnie podaną definicją prawdopodobieństwa warunkowego:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Dbamy o regułę Laplace'a i wartości z tabeli:
P (B) = 27/50
P (A i B) = 16/50
Gdzie P (A i B) to prawdopodobieństwo, że klient woli czekoladę i jest kobietą. Teraz wartości są podstawiane:
P (A│B) = P (A i B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.
Udowodniono, że wynik jest taki sam.
W tym przykładzie obowiązuje zasada mnożenia. Załóżmy, że w sklepie są wystawione spodnie w trzech rozmiarach: małym, średnim i dużym..
W partii z łącznie 24 spodniami, z których jest 8 każdego rozmiaru i wszystkie są mieszane, jakie byłoby prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch z nich i że oba byłyby małe?
Oczywiste jest, że prawdopodobieństwo zdjęcia małych spodni za pierwszym razem wynosi 8/24 = 1/3. Teraz druga ekstrakcja jest uwarunkowana pierwszym zdarzeniem, ponieważ podczas zdejmowania pary spodni nie ma już 24, ale 23. A jeśli usuniesz małe spodnie, jest ich 7 zamiast 8.
Wydarzenie A polega na wyciągnięciu jednego małego spodni, po pociągnięciu drugiego za pierwszym podejściem. A impreza B to ta z małymi spodniami po raz pierwszy. W związku z tym:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Wreszcie, używając zasady mnożenia:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097
W badaniu punktualności w komercyjnych lotach lotniczych dostępne są następujące dane:
-P (B) = 0,83, to prawdopodobieństwo, że samolot wystartuje na czas.
-P (A) = 0,81, to prawdopodobieństwo lądowania na czas.
-P (B∩A) = 0,78 to prawdopodobieństwo, że lot przyleci na czas i wystartuje na czas.
Należy obliczyć:
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że samolot wyląduje na czas, biorąc pod uwagę, że wystartował na czas?
b) Czy poprzednie prawdopodobieństwo jest tym samym, co prawdopodobieństwo, że wyjechał na czas, jeśli zdążył wylądować na czas??
c) I wreszcie: jakie jest prawdopodobieństwo, że dotrze na czas, biorąc pod uwagę to nie wyszedł na czas?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, stosuje się definicję prawdopodobieństwa warunkowego:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398
W takim przypadku następuje zamiana wydarzeń z definicji:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A i B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630
Zwróć uwagę, że prawdopodobieństwo to różni się nieco od poprzedniego, jak wcześniej zauważyliśmy.
Prawdopodobieństwo nie wyruszenia na czas wynosi 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, nazwiemy to P (B)do), ponieważ jest to wydarzenie uzupełniające, aby wystartować na czas. Poszukiwane prawdopodobieństwo warunkowe wynosi:
P (A│Bdo) = P (A∩Bdo) / P (B.do) = P (A i Bdo) / P (B.do)
Z drugiej strony:
P (A∩Bdo) = P (lądowanie na czas) - P (lądowanie na czas i start o czasie) = 0,81-0,78 = 0,03
W tym przypadku poszukiwane prawdopodobieństwo warunkowe wynosi:
P (A│Bdo) = 0,03 / 0,17 = 0,1765
Jeszcze bez komentarzy