Przykłady sekwencji kwadratowych, reguły i rozwiązane ćwiczenia

Plik sekwencje kwadratowe, w kategoriach matematycznych składają się z ciągów liczb, które podlegają pewnej zasadzie arytmetycznej. Warto znać tę regułę, aby określić dowolne warunki sekwencji.

Jednym ze sposobów osiągnięcia tego jest określenie różnicy między dwoma kolejnymi członami i sprawdzenie, czy uzyskana wartość jest zawsze powtarzana. W takim przypadku mówi się, że jest to plik sukcesja regularna.

Ale jeśli się nie powtórzy, możesz spróbować zbadać plik różnica między różnicami i zobacz, czy ta wartość jest stała. Jeśli tak, to jest to plik sekwencja kwadratowa. 

Indeks artykułów

• 1 Przykłady ciągów regularnych i kwadratowych
  • 1.1 Przykład regularnej sukcesji
  • 1.2 Przykład sekwencji nieregularnej i kwadratowej
• 2 Ogólna zasada konstruowania ciągu kwadratowego
  • 2.1 Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu kwadratowego
• 3 Rozwiązane problemy ciągów kwadratowych
  • 3.1 Ćwiczenie 1
  • 3.2 Ćwiczenie 2
  • 3.3 Ćwiczenie 3
• 4 Odnośniki

Przykłady ciągów regularnych i kwadratowych

Poniższe przykłady pomagają wyjaśnić, co zostało wyjaśnione do tej pory:

Przykład sukcesji regularnej

Niech sekwencja S = 4, 7, 10, 13, 16,…

Sekwencja ta, oznaczona przez S, jest nieskończonym zbiorem liczbowym, w tym przypadku liczb całkowitych.

Można zauważyć, że jest to ciąg regularny, ponieważ każdy termin uzyskuje się przez dodanie 3 do poprzedniego terminu lub elementu:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

10+3 = 13

13+3 = 16

Innymi słowy: ta sekwencja jest regularna, ponieważ różnica między następnym a poprzednim członem daje stałą wartość. W podanym przykładzie ta wartość wynosi 3.

Nazywane są również regularne sekwencje, które są uzyskiwane przez dodanie stałej ilości do poprzedniego terminu postępy arytmetyczne. I nazywa się różnica -stała- między kolejnymi wyrazami powód i jest oznaczony jako R..

Przykład sekwencji nieregularnej i kwadratowej

Zobacz teraz następującą sekwencję:

S = 2, 6, 12, 20, 30,….

Przy obliczaniu kolejnych różnic uzyskuje się następujące wartości:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Jej różnice nie są stałe, więc można powiedzieć, że NIE jest to regularna sekwencja.

Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę zbiór różnic, mamy inny ciąg, który zostanie oznaczony jako S_różn:

S_różn = 4, 6, 8, 10,….

Ta nowa sukcesja to sukcesja regularna, ponieważ każdy składnik uzyskuje się przez dodanie stałej wartości R = 2 do poprzedniego. Dlatego możemy stwierdzić, że S. jest sekwencja kwadratowa.

Ogólna zasada konstruowania ciągu kwadratowego

Istnieje ogólny wzór na skonstruowanie ciągu kwadratowego:

T_n = A ∙ n^dwa + B ∙ n + C

W tym wzorze T_n jest terminem pozycji n ciągu. A, B i C są wartościami stałymi, podczas gdy n zmienia się jedna po drugiej, to znaczy 1, 2, 3, 4, ...

W sekwencji S z poprzedniego przykładu A = 1, B = 1 i C = 0. Z tego wynika, że ​​formuła generująca wszystkie wyrazy to: T_n = n^dwa + n

Mianowicie:

T₁ = 1^dwa + 1 = 2

T_dwa = 2^dwa + 2 = 6

T₃ = 3^dwa + 3 = 12

T₅ = 5^dwa + 5 = 30

T_n = n^dwa + n

Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu kwadratowego

T_{n + 1} - T_n = [A ∙ (n + 1)^dwa + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n^dwa + B ∙ n + C]

Rozwijanie ekspresji poprzez niezwykły produkt pozostaje:

T_{n + 1} - T_n = A ∙ n^dwa + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n^dwa - B ∙ n - C

Upraszczając, otrzymujesz:

T_{n + 1} - T_n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

To jest wzór, który podaje sekwencję różnic S_Różnica co można zapisać w ten sposób:

Różnica_n = A ∙ (2n + 1) + B

Gdzie wyraźnie następny termin to 2 ∙ Czasami poprzedni. To znaczy stosunek sekwencji różnic S_różn jest: R = 2 ∙ A.

Rozwiązane problemy ciągów kwadratowych

Ćwiczenie 1

Niech ciąg S = 1, 3, 7, 13, 21,…. Określ, czy:

i) Czy to jest regularne, czy nie

ii) Czy jest kwadratowy, czy nie

iii) To było kwadratowe, sekwencja różnic i ich stosunek

Odpowiedzi

i) Obliczmy różnicę między następującymi a poprzednimi terminami:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Możemy to potwierdzić sekwencja S nie jest regularna, ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami nie jest stała.

ii) Sekwencja różnic jest regularna, ponieważ różnica między jej wyrazami jest wartością stałą 2. Dlatego oryginalna sekwencja S jest kwadratowa.

iii) Ustaliliśmy już, że S jest kwadratowe, sekwencja różnic jest następująca:

S_różn = 2, 4, 6, 8, ..., a jego stosunek wynosi R = 2.

Ćwiczenie 2

Niech sekwencja S = 1, 3, 7, 13, 21,… z poprzedniego przykładu, gdzie zweryfikowano, że jest kwadratowa. Określać:

i) Wzór określający ogólny termin T_{n .}

ii) Sprawdź trzeci i piąty warunek.

iii) Wartość dziesiątego terminu.

Odpowiedzi

i) Ogólny wzór T_n jest A ∙ n^dwa + B ∙ n + C. Pozostaje znać wartości A, B i C..

Sekwencja różnic ma stosunek 2. Ponadto dla dowolnej sekwencji kwadratowej stosunek R wynosi 2 ∙ A, jak pokazano w poprzednich sekcjach.

R = 2 ∙ A = 2, co prowadzi nas do wniosku, że A = 1.

Pierwszy człon ciągu różnic S_Różnica wynosi 2 i musi spełniać A ∙ (2n + 1) + B, przy n = 1 i A = 1, czyli:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

rozwiązując B, otrzymujemy: B = -1

Wtedy pierwszy wyraz S (n = 1) jest wart 1, to znaczy: 1 = A ∙ 1^dwa + B ∙ 1 + C. Jak już wiemy, że A = 1 i B = -1, podstawiając otrzymujemy:

1 = 1 ∙ 1^dwa + (-1) ∙ 1 + C

Rozwiązując C otrzymujemy jego wartość: C = 1.

W podsumowaniu:

A = 1, B = -1 i C = 1

Wtedy n-ty termin będzie oznaczał T_n = n^dwa - n + 1

ii) Trzeci termin T₃ = 3^dwa - 3 + 1 = 7 i jest weryfikowane. Piąty T₅ = 5^dwa - 5 + 1 = 21, co również jest weryfikowane.

iii) Dziesiątym terminem będzie T₁₀ = 10^dwa - 10 + 1 = 91.

Ćwiczenie 3

Rysunek przedstawia sekwencję pięciu cyfr. Krata reprezentuje jednostkę długości.

i) Określić kolejność dla obszaru figur.

ii) Pokaż, że jest to ciąg kwadratowy.

iii) Znajdź obszar z rysunku nr 10 (niepokazany).

Odpowiedzi

i) Sekwencja S odpowiadająca obszarowi ciągu figur to:

S = 0, 2, 6, 12, 20,…

ii) Sekwencja odpowiadająca kolejnym różnicom terminów S jest następująca:

S_różn = 2, 4, 6, 8,…

Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami nie jest stała, to S nie jest ciągiem regularnym. Pozostaje wiedzieć, czy jest to kwadrat, dla którego ponownie wykonujemy sekwencję różnic, uzyskując:

2, 2, 2,….

Ponieważ wszystkie terminy sekwencji są powtarzane, potwierdza się, że S jest sekwencją kwadratową.

iii) Sekwencja S_różn jest regularna, a jej stosunek R wynosi 2. Korzystając z równania pokazanego powyżej R = 2 ∙ A, pozostaje:

2 = 2 ∙ A, co oznacza, że ​​A = 1.

Drugi człon ciągu różnic S_Różnica to 4 i n-ty człon S_Różnica to jest

A ∙ (2n + 1) + B.

Drugi człon ma n = 2. Ponadto ustalono już, że A = 1, więc korzystając z poprzedniego równania i podstawiając, mamy:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Rozwiązując B otrzymujemy: B = -1.

Wiadomo, że drugi człon S jest wart 2 i że musi spełniać formułę terminu ogólnego przy n = 2:

T_n = A ∙ n^dwa + B * n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T_dwa = 2

Mianowicie

2 = 1 ∙ 2^dwa - 1 ∙ 2 + C

Wynika z tego, że C = 0, to znaczy, że formuła, która daje ogólny wyraz ciągu S, jest następująca:

T_n = 1 ∙ n^dwa - 1 ∙ n +0 = n^dwa - n

Teraz zweryfikowano piąty termin:

T₅ = 5^dwa - 5 = 20

iii) Rysunek nr 10, który nie został tutaj narysowany, będzie miał obszar odpowiadający dziesiątemu członowi ciągu S:

T₁₀ = 10^dwa - 10 = 90

Bibliografia

1. https://www.geogebra.org