Plik Twierdzenie Euklidesa demonstruje właściwości trójkąta prostokątnego, rysując linię, która dzieli go na dwa nowe trójkąty prostokątne, które są do siebie podobne iz kolei są podobne do oryginalnego trójkąta; wtedy istnieje relacja proporcjonalności.
Euclid był jednym z największych matematyków i geometrów starożytności, który przeprowadził kilka dowodów ważnych twierdzeń. Jednym z głównych jest ten, który nosi jego imię i ma szerokie zastosowanie.
Stało się tak, ponieważ poprzez to twierdzenie wyjaśnia w prosty sposób relacje geometryczne istniejące w trójkącie prostokątnym, gdzie odnogi tego są powiązane z ich rzutami w przeciwprostokątnej..
Indeks artykułów
Twierdzenie Euklidesa sugeruje, że w każdym trójkącie prostokątnym, kiedy narysowana jest linia - która reprezentuje wysokość odpowiadającą wierzchołkowi kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej - powstają dwa trójkąty prostokątne z oryginału.
Te trójkąty będą do siebie podobne, a także będą podobne do oryginalnego trójkąta, co oznacza, że ich podobne boki są do siebie proporcjonalne:
Kąty trzech trójkątów są przystające; to znaczy, kiedy są obrócone o 180 stopni wokół ich wierzchołka, jeden kąt pokrywa się z drugim. Oznacza to, że wszystkie będą takie same.
W ten sposób podobieństwo istniejące między trzema trójkątami można również zweryfikować przez równość ich kątów. Z podobieństwa trójkątów Euclid ustala ich proporcje na podstawie dwóch twierdzeń:
- Twierdzenie o wysokości.
- Twierdzenie o nodze.
To twierdzenie ma szerokie zastosowanie. W starożytności był używany do obliczania wysokości lub odległości, co stanowiło wielki postęp w trygonometrii.
Obecnie jest stosowany w różnych dziedzinach opartych na matematyce, takich jak między innymi inżynieria, fizyka, chemia i astronomia..
W tym twierdzeniu ustalono, że w dowolnym trójkącie prostokątnym wysokość narysowana z kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej jest średnią geometryczną proporcjonalności (kwadrat wysokości) między rzutami nóg, które określa na przeciwprostokątnej.
Oznacza to, że kwadrat wysokości będzie równy pomnożeniu rzutowanych nóg, które tworzą przeciwprostokątną:
godzdodwa = m * n
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który znajduje się w wierzchołku C, wykreślenie wysokości generuje dwa podobne trójkąty prostokątne, ADC i BCD; dlatego ich odpowiednie boki są proporcjonalne:
W taki sposób, aby wysokość hdo co odpowiada odcinkowi CD, odpowiada przeciwprostokątnej AB = c, więc mamy:
To z kolei odpowiada:
Rozwiązywanie przeciwprostokątnej (hdo), aby pomnożyć dwóch członków równości, musimy:
godzc * godzc = m * n
godzdodwa = m * n
Zatem wartość przeciwprostokątnej jest określona przez:
W tym twierdzeniu ustalono, że w każdym trójkącie prostokątnym miarą każdej nogi będzie geometryczna proporcjonalna średnia (kwadrat każdej nogi) między miarą przeciwprostokątnej (kompletnej) a rzutem każdej z nich na nią:
bdwa = c * m
dodwa = c* n
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który znajduje się dokładnie w wierzchołku C, w taki sposób, że jego przeciwprostokątna jest c, podczas wykreślania wysokości (h) wyznaczane są rzuty nóg a i b, które są odpowiednio segmentami m i n, i które leżą na przeciwprostokątnej.
Tak więc mamy, że wysokość narysowana na prawym trójkącie ABC generuje dwa podobne trójkąty prostokątne, ADC i BCD, tak że odpowiednie boki są proporcjonalne, na przykład:
DB = n, czyli rzut nogi CB na przeciwprostokątną.
AD = m, czyli rzut nogi AC na przeciwprostokątną.
Następnie przeciwprostokątna c jest określona przez sumę nóg jej występów:
c = m + n
Ze względu na podobieństwo trójkątów ADC i BCD mamy:
Powyższe jest tym samym, co:
Szukając nogi „a”, aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:
do * a = c * n
dodwa = c * n
Zatem wartość odnogi „a” jest określona wzorem:
W ten sam sposób, ze względu na podobieństwo trójkątów ACB i ADC, mamy:
Powyższe jest równe:
Szukając nogi „b”, aby pomnożyć dwa elementy równości, otrzymujemy:
b * b = c * m
bdwa = c * m
Zatem wartość odnogi „b” jest określona wzorem:
Twierdzenia dotyczące wysokości i nóg są ze sobą powiązane, ponieważ pomiar obu jest dokonywany w odniesieniu do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.
Poprzez relację twierdzeń Euklidesa można również znaleźć wartość wysokości; jest to możliwe dzięki rozwiązaniu wartości m i n z twierdzenia o nodze i są one zastępowane w twierdzeniu o wysokości. W ten sposób uzyskuje się pewność, że wysokość jest równa pomnożeniu nóg podzielonej przez przeciwprostokątną:
bdwa = c * m
m = bdwa ÷ c
dodwa = c * n
n = adwa ÷ c
W twierdzeniu o wysokości zastępujemy m i n:
godzdodwa = m * n
godzdodwa = (bdwa ÷ c) * (dodwa ÷ c)
godzdo = (bdwa * dodwa) ÷ c
Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, dokładnie w punkcie A, określ miarę AC i AD, jeśli AB = 30 cm i BD = 18 cm
W tym przypadku mamy wymiary jednej z rzutowanych nóg (BD) i jednej z nóg oryginalnego trójkąta (AB). W ten sposób twierdzenie o odnodze może być zastosowane do znalezienia wartości odnogi BC.
ABdwa = BD * pne
(30)dwa = 18 * pne
900 = 18 * pne
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Wartość CD nogi można znaleźć wiedząc, że BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Teraz można wyznaczyć wartość AC odnogi, stosując ponownie twierdzenie odnogi:
ACdwa = CD * BD
ACdwa = 32 * pięćdziesiąt
ACdwa = 160
AC = √1600 = 40 cm
Aby określić wartość wysokości (AD), stosuje się twierdzenie o wysokości, ponieważ znane są wartości rzutowanych nóg CD i BD:
OGŁOSZENIEdwa = 32 * 18
OGŁOSZENIEdwa = 576
AD = √576
AD = 24 cm
Określ wartość wysokości (h) trójkąta MNL, bezpośrednio w N, znając wymiary segmentów:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Mamy wymiar jednej z nóg rzutowany na przeciwprostokątną (PM), jak również wymiary nóg oryginalnego trójkąta. W ten sposób twierdzenie odnogi można zastosować do znalezienia wartości drugiej rzutowanej odnogi (LN):
NLdwa = PM * LM
(10)dwa = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Ponieważ wartość nóg i przeciwprostokątnej jest już znana, poprzez związek twierdzeń o wysokości i nogach można określić wartość wysokości:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (bdwa * dodwa) ÷ c.
h = (10dwa * 5dwa) ÷ (dwadzieścia)
h = (100 * 25) ÷ (dwadzieścia)
h = 2500 ÷ dwadzieścia
h = 125 cm.
Jeszcze bez komentarzy