Plik prędkość kątowa jest miarą prędkości obrotowej i jest definiowana jako kąt, o który obraca się wektor położenia obracającego się obiektu w jednostce czasu. Jest to wielkość, która bardzo dobrze opisuje ruch wielu obiektów, które nieustannie obracają się wszędzie: płyty CD, koła samochodowe, maszyny, Ziemia i wiele innych..
Schemat „London Eye” można zobaczyć na poniższym rysunku. Reprezentuje ruch pasażera reprezentowany przez punkt P, który porusza się po torze kołowym, tzw do:
Pasażer zajmuje pozycję P w chwili t, a położenie kątowe odpowiadające tej chwili to ϕ.
Od chwili t upływa okres czasu Δt. W tym okresie nowa pozycja punktualnego pasażera to P ', a pozycja kątowa wzrosła o kąt Δϕ.
Indeks artykułów
W przypadku wielkości rotacyjnych powszechnie stosuje się greckie litery, aby odróżnić je od wielkości liniowych. Zatem początkowo określamy średnią prędkość kątową ωm jako kąt przebyty w danym okresie czasu.
Wtedy iloraz Δϕ / Δt będzie reprezentował średnią prędkość kątową ωm między czasami t i t + Δt.
Jeśli chcesz obliczyć prędkość kątowa właśnie w chwili t będziemy musieli obliczyć iloraz Δϕ / Δt, gdy Δt ➡0:
Prędkość liniowa v, jest ilorazem przebytej odległości i czasu potrzebnego na jej przebycie.
Na powyższym rysunku pokonany łuk to Δs. Ale łuk ten jest proporcjonalny do przebytego kąta i promienia, przy spełnieniu następującej zależności, która obowiązuje, o ile Δϕ jest mierzone w radianach:
Δs = r ・ Δϕ
Jeśli podzielimy poprzednie wyrażenie przez upływ czasu Δt i weźmiemy granicę przy Δt ➡0, otrzymamy:
v = r ・ ω
Ruch obrotowy jest jednostajny, jeśli w jakimkolwiek obserwowanym momencie przebyty kąt jest taki sam w tym samym okresie czasu.
Jeśli obrót jest równomierny, to prędkość kątowa w dowolnym momencie pokrywa się ze średnią prędkością kątową.
Ponadto po wykonaniu pełnego skrętu pokonany kąt wynosi 2π (odpowiednik 360º). Dlatego przy równomiernym obrocie prędkość kątowa ω jest powiązana z okresem T za pomocą następującego wzoru:
f = 1 / T
Innymi słowy, przy równomiernym obrocie prędkość kątowa jest powiązana z częstotliwością przez:
ω = 2π ・ f
Kabiny wielkiego kołowrotka znanego jako „Londyńskie oko„Poruszają się powoli. Prędkość kabin wynosi 26 cm / s, a średnica koła wynosi 135 m.
Na podstawie tych danych obliczyć:
i) prędkość kątowa koła
ii) Częstotliwość obrotów
iii) Czas, w którym kabina wykonuje pełny obrót.
Odpowiedzi:
ja) Prędkość v wm / s wynosi: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.
Promień jest równy połowie średnicy: r = (135 m) / 2 = 67,5 m
v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10-4 obroty / s
f = 6,13 x 10 ^ -4 obrotu / s = 0,0368 obrotu / min = 2,21 obrotu / godzinę.
iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 okrążenia / godz. = 0,45311 godz. = 27 min 11 sek
Autko porusza się po okrągłym torze o promieniu 2m. W 0 s jego położenie kątowe wynosi 0 rad, ale po czasie t jego położenie kątowe określa:
φ (t) = 2 ・ t
Określać:
i) prędkość kątowa
ii) Prędkość liniowa w dowolnym momencie.
Odpowiedzi:
ja) Prędkość kątowa jest pochodną położenia kątowego: ω = φ '(t) = 2.
Oznacza to, że samochodzik przez cały czas ma stałą prędkość kątową równą 2 rad / s.
ii) Prędkość liniowa samochodu wynosi: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h
Ten sam samochód z poprzedniego ćwiczenia zaczyna się zatrzymywać. Jego położenie kątowe w funkcji czasu wyraża się następującym wyrażeniem:
φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ tdwa
Określać:
i) Prędkość kątowa w dowolnym momencie
ii) Prędkość liniowa w dowolnym momencie
iii) Czas potrzebny do zatrzymania się od momentu, gdy zaczyna zwalniać
iv) Przebyty kąt
v) przebyta odległość
Odpowiedzi:
ja) Prędkość kątowa jest pochodną położenia kątowego: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ tdwa) '= 2 - t
ii) Prędkość liniową samochodu w dowolnym momencie wyraża:
v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t
iii) Czas potrzebny do zatrzymania się od momentu, w którym zaczyna zwalniać, jest określany przez znajomość momentu, w którym prędkość v (t) osiąga zero.
v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2
Oznacza to, że zatrzymuje się 2 sekundy po rozpoczęciu hamowania.
iv) W okresie 2s od rozpoczęcia hamowania do zatrzymania przemieszczany jest kąt określony przez φ (2):
φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 stopnia
v) W okresie 2 s od rozpoczęcia hamowania do zatrzymania odległość s wyrażona jest wzorem:
s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m
Koła samochodu mają 80 cm średnicy. Jeśli samochód jedzie z prędkością 100 km / h. Znajdź: i) prędkość kątową obrotu kół, ii) częstotliwość obrotu kół, iii) liczbę obrotów, jaką wykonuje koło w czasie jazdy 1 godziny.
Odpowiedzi:
ja) Najpierw przeliczymy prędkość samochodu z km / h na m / s
v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s
Kątową prędkość obrotu kół określa:
ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s
ii) Częstotliwość obrotów kół określa:
f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 obrotu / s
Częstotliwość obrotów jest zwykle wyrażana w obrotach na minutę obr / min.
f = 11,05 obrotu / s = 11,05 obrotu / (1/60) min = 663,15 obr / min
iii) Liczbę okrążeń pokonanych przez koło podczas 1-godzinnej podróży oblicza się, wiedząc, że 1 godzina = 60 minut, a częstotliwość to liczba okrążeń N podzielona przez czas, w którym te N okrążeń zostało wykonanych.
f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (obrotów / min) x 60 min = 39788,7 obrotów.
Jeszcze bez komentarzy